Panoramas et synthèses, n° 22. Systèmes intégrables semi-classiques : du local au global

Résumé du livre

Ce livre présente une vue panoramique des systèmes hamiltoniens complètement intégrables de dimension finie dans laquelle on apercevra, côte à côte et sous des traits similaires, leurs aspects classiques et quantiques.

La mécanique classique y est abordée sous l'angle de l'étude géométrique du feuilletage lagrangien singulier, dont les feuilles régulières sont les fameux tores de Liouville. Les singularités du système sont étudiées au moyen de formes normales locales et semi-globales, faisant apparaître des invariants topologiques et symplectiques. Certains liens avec les variétés toriques sont explorés.

Les systèmes intégrables quantiques sont traités dans le cadre de l'analyse microlocale semi-classique. Le calcul pseudo-différentiel et les opérateurs intégraux de Fourier offrent un outillage efficace pour découvrir comment les caractéristiques géométriques de ces systèmes influent sur leurs propriétés spectrales.

This book presents a panorama of finite dimensional completely integrable Hamiltonian systems, in which classical aspects and quantum aspects will be living side by side, with similar appearances.

Classical mechanics is considered from the viewpoint of the geometric study of the singular Lagrangian foliation, whose regular leaves are the famous Liouville tori. Singularities are tackled using local and semi-global normal forms, which involve topological and symplectic invariants. Some relationships with toric varieties are explored.

Quantum integrable systems are treated in the framework of semiclassical microlocal analysis. Pseudo-differential calculus and Fourier integral operators offer efficient tools for discovering how the geometric features of these systems influence their spectral properties.